매끄러운 다양체

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 범주론적 성질
- 3.2. 매끄러움 구조의 존재와 유일성
4. 분류
5. 예
참조

1. 개요

매끄러운 다양체는 좌표근방계를 갖춘 다양체로, 좌표근방계는 매끄러운 함수를 사용하여 다양체의 국소적인 구조를 정의한다. C^k 다양체는 추이 사상의 매끄러움 조건을 약화시킨 것이고, 해석 다양체는 해석 함수 조건을 강화한 것이다. 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수는 연속 함수이며, 미분동형은 매끄러운 다양체의 동형이다. 3차원 이하의 다양체는 유일한 극대 좌표근방계를 가지며, 4차원 이상에서는 매끄러움 구조가 존재하지 않거나 여러 개 존재할 수 있다.

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매끄러운 다양체

2. 정의

자연수 $n$ 에 대하여, $n$ 차원 다양체 $M$ 위의 '''좌표근방계'''(座標近傍系, atlas^영어) $\Phi$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$\Phi$ 는 함수의 집합이며, $\Phi$ 의 각 원소 $\phi\in\Phi$ 는 매장 $\phi\colon\operatorname{dom}\phi\hookrightarrow\mathbb R^n$ 이다. 또한, 정의역 $\operatorname{dom}\phi\subseteq M$ 은 $M$ 의 열린 집합이며, 치역 $\phi(\operatorname{dom}\phi)$ 는 $\mathbb R^n$ 의 열린 집합이다.

이 구조는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

$\bigcup_{\phi\in\Phi}\operatorname{dom}\phi=M$ . 즉, $\{\operatorname{dom}\phi\}_{\phi\in\Phi}$ 는 $M$ 의 열린 덮개이다.
임의의 $\phi,\psi\in\Phi$ 에 대하여, 만약 $\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi\ne\varnothing$ 이라면, $\psi|_{\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi}\circ \phi^{-1}|_{\phi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)}\colon\phi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)\to\psi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)$ 는 매끄러운 함수이다. 이러한 함수를 '''추이 사상'''(transition map^영어)이라고 한다.

'''매끄러운 다양체'''

(M,\Phi)

는 좌표근방계를 갖춘 다양체이다.

만약 추이 사상에 대한 조건을

\mathcal C^k

로 약화시키면, '''

\mathcal C^k

다양체'''라고 한다. 만약 추이 사상에 대한 조건을 해석 함수로 강화시키면, '''해석 다양체'''(解析多樣體, analytic manifold^영어)라고 한다.

같은 다양체

M

위의 두 좌표근방계

\Phi

,

\Phi'

에 대하여, 만약

\Phi\cup\Phi'

이 역시 좌표근방계를 이룬다면 두 좌표계가 서로 '''호환'''된다고 한다. 이는 동치 관계를 이룬다. 또한,

M

위의 모든 좌표근방계들의 집합은 포함 관계

\subseteq

에 대하여 부분 순서 집합을 이루며, 이에 대한 극대 원소를 '''극대 좌표근방계'''(座標近傍系, maximal atlas^영어)라고 한다. 임의의 좌표근방계

\Phi

에 대하여

\Phi\subseteq\Phi'

인 극대 좌표근방계

\Phi'

이 항상 유일하게 존재한다. 서로 호환되는 두 좌표근방계는 미분동형 매끄러운 다양체를 정의한다. 즉, 극대 좌표근방계는 좌표근방계의 호환 관계에 대한 동치류와 일대일 대응하며, 이 때문에 극대 좌표근방계를 '''매끄러움 구조'''(smooth structure^영어)라고 하기도 한다.

두 매끄러운 다양체 사이의 '''매끄러운 함수'''

f\colon(M,\Phi)\to(N,\Psi)

는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수이다.

임의의 $\phi\in\Phi$ 및 $\psi\in\Psi$ 에 대하여, 만약 $f(\operatorname{dom}\phi)\cap\operatorname{dom}\psi\ne\varnothing$ 이라면, $\psi|_{\operatorname{dom}\psi\cap f(\operatorname{dom}\phi)}\circ\phi^{-1}|_{\phi(\operatorname{dom}\phi\cap f^{-1}(\operatorname{dom}\psi))}\colon\phi(\operatorname{dom}\phi\cap f^{-1}(\operatorname{dom}\psi))\to\psi(\operatorname{dom}\psi\cap f(\operatorname{dom}\phi))$ 는 (유클리드 공간 사이의) 매끄러운 함수이다.

두

\mathcal C^k

다양체 사이의

\mathcal C^k

함수 역시 마찬가지로 정의한다. 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주는

\operatorname{Diff}

라고 쓴다. 이 범주에서의 동형을 '''미분동형'''이라고 한다.

2. 1. 좌표근방계

자연수

n\in\mathbb N

에 대하여,

n

차원 다양체

M

위의 좌표근방계(座標近傍系, atlas^영어)

\Phi

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$\Phi$ 는 함수의 집합이며, $\Phi$ 의 각 원소 $\phi\in\Phi$ 는 매장(embedding) $\phi\colon\operatorname{dom}\phi\hookrightarrow\mathbb R^n$ 이다. 또한, 정의역 $\operatorname{dom}\phi\subseteq M$ 은 $M$ 의 열린 집합이며, 치역 $\phi(\operatorname{dom}\phi)$ 는 $\mathbb R^n$ 의 열린 집합이다.

이 구조는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

$\bigcup_{\phi\in\Phi}\operatorname{dom}\phi=M$ . 즉, $\{\operatorname{dom}\phi\}_{\phi\in\Phi}$ 는 $M$ 의 열린 덮개이다.
임의의 $\phi,\psi\in\Phi$ 에 대하여, 만약 $\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi\ne\varnothing$ 이라면, $\psi|_{\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi}\circ \phi^{-1}|_{\phi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)}\colon\phi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)\to\psi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)$ 는 매끄러운 함수이다. 이러한 함수를 추이 사상(transition map^영어)이라고 한다.

만약 추이 사상에 대한 조건을

\mathcal C^k

로 약화시킨다면, 이를

\mathcal C^k

다양체라고 한다. 만약 추이 사상에 대한 조건을 해석 함수로 강화시킨다면, 이를 해석 다양체(解析多樣體, analytic manifold^영어)라고 한다.

같은 다양체

M

위의 두 좌표근방계

\Phi

,

\Phi'

에 대하여, 만약

\Phi\cup\Phi'

이 역시 좌표근방계를 이룬다면 두 좌표계가 서로 호환된다고 한다. 이는 동치 관계를 이룬다. 또한,

M

위의 모든 좌표근방계들의 집합은 포함 관계

\subseteq

에 대하여 부분 순서 집합을 이루며, 이에 대한 극대 원소를 극대 좌표근방계(座標近傍系, maximal atlas^영어)라고 한다. 임의의 좌표근방계

\Phi

에 대하여

\Phi\subseteq\Phi'

인 극대 좌표근방계

\Phi'

이 항상 유일하게 존재한다. 서로 호환되는 두 좌표근방계는 미분동형 매끄러운 다양체를 정의한다. 즉, 극대 좌표근방계는 좌표근방계의 호환 관계에 대한 동치류와 일대일 대응하며, 이 때문에 극대 좌표근방계를 매끄러움 구조(smooth structure^영어)라고 하기도 한다.

2. 2. 매끄러운 다양체

자연수

n\in\mathbb N

에 대하여,

n

차원 다양체

M

위의 '''좌표근방계'''(座標近傍系, atlas^영어)

\Phi

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$\Phi$ 는 함수의 집합이며, $\Phi$ 의 각 원소 $\phi\in\Phi$ 는 매장 $\phi\colon\operatorname{dom}\phi\hookrightarrow\mathbb R^n$ 이다. 또한, 정의역 $\operatorname{dom}\phi\subseteq M$ 은 $M$ 의 열린 집합이며, 치역 $\phi(\operatorname{dom}\phi)$ 는 $\mathbb R^n$ 의 열린 집합이다.
$\bigcup_{\phi\in\Phi}\operatorname{dom}\phi=M$ . 즉, $\{\operatorname{dom}\phi\}_{\phi\in\Phi}$ 는 $M$ 의 열린 덮개이다.
임의의 $\phi,\psi\in\Phi$ 에 대하여, 만약 $\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi\ne\varnothing$ 이라면, $\psi|_{\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi}\circ \phi^{-1}|_{\phi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)}\colon\phi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)\to\psi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)$ 는 매끄러운 함수이다. 이러한 함수를 '''추이 사상'''(transition map^영어)이라고 한다.

'''매끄러운 다양체'''

(M,\Phi)

는 좌표근방계를 갖춘 다양체이다.

만약 추이 사상에 대한 조건을

\mathcal C^k

로 약화시키면, '''

\mathcal C^k

다양체'''라고 한다. 만약 추이 사상에 대한 조건을 해석 함수로 강화시키면, '''해석 다양체'''(解析多樣體, analytic manifold^영어)라고 한다.

같은 다양체

M

위의 두 좌표근방계

\Phi

,

\Phi'

에 대하여, 만약

\Phi\cup\Phi'

이 역시 좌표근방계를 이룬다면 두 좌표계가 서로 '''호환'''된다고 한다. 이는 동치 관계를 이룬다. 또한,

M

위의 모든 좌표근방계들의 집합은 포함 관계

\subseteq

에 대하여 부분 순서 집합을 이루며, 이에 대한 극대 원소를 '''극대 좌표근방계'''(座標近傍系, maximal atlas^영어)라고 한다. 임의의 좌표근방계

\Phi

에 대하여

\Phi\subseteq\Phi'

인 극대 좌표근방계

\Phi'

이 항상 유일하게 존재한다. 서로 호환되는 두 좌표근방계는 미분동형 매끄러운 다양체를 정의한다. 즉, 극대 좌표근방계는 좌표근방계의 호환 관계에 대한 동치류와 일대일 대응하며, 이 때문에 극대 좌표근방계를 '''매끄러움 구조'''(smooth structure^영어)라고 하기도 한다.

두 매끄러운 다양체 사이의 '''매끄러운 함수'''

f\colon(M,\Phi)\to(N,\Psi)

는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수이다.

임의의 $\phi\in\Phi$ 및 $\psi\in\Psi$ 에 대하여, 만약 $f(\operatorname{dom}\phi)\cap\operatorname{dom}\psi\ne\varnothing$ 이라면, $\psi|_{\operatorname{dom}\psi\cap f(\operatorname{dom}\phi)}\circ\phi^{-1}|_{\phi(\operatorname{dom}\phi\cap f^{-1}(\operatorname{dom}\psi))}\colon\phi(\operatorname{dom}\phi\cap f^{-1}(\operatorname{dom}\psi))\to\psi(\operatorname{dom}\psi\cap f(\operatorname{dom}\phi))$ 는 (유클리드 공간 사이의) 매끄러운 함수이다.

두

\mathcal C^k

다양체 사이의

\mathcal C^k

함수 역시 마찬가지로 정의한다. 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주는

\operatorname{Diff}

라고 쓴다. 이 범주에서의 동형을 '''미분동형'''이라고 한다.

2. 3. C^k 다양체와 해석 다양체

자연수

n\in\mathbb N

에 대하여,

n

차원 다양체

M

위의 좌표근방계

\Phi

는 매장

\phi\colon\operatorname{dom}\phi\hookrightarrow\mathbb R^n

인 함수의 집합이다.

\Phi

의 각 원소에서 정의역

\operatorname{dom}\phi\subseteq M

은

M

의 열린 집합이며, 치역

\phi(\operatorname{dom}\phi)

는

\mathbb R^n

의 열린 집합이다.

\{\operatorname{dom}\phi\}_{\phi\in\Phi}

는

M

의 열린 덮개이다.

임의의

\phi,\psi\in\Phi

에 대하여,

\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi\ne\varnothing

이면,

\psi|_{\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi}\circ\phi^{-1}|_{\phi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)}

는 매끄러운 함수이며, 이를 추이 사상(transition map^영어)이라고 한다.

추이 사상의 매끄러움 조건을

\mathcal C^k

로 약화시키면 '''

\mathcal C^k

다양체'''가 되고, 해석 함수 조건으로 강화시키면 '''해석 다양체'''(解析多樣體, analytic manifold^영어)가 된다.

같은 다양체

M

위의 두 좌표근방계

\Phi

,

\Phi'

에 대하여,

\Phi\cup\Phi'

이 역시 좌표근방계를 이룬다면 두 좌표계는 서로 '''호환'''된다고 하며, 이는 동치 관계를 이룬다. 또한,

M

위의 모든 좌표근방계들의 집합은 포함 관계

\subseteq

에 대하여 부분 순서 집합을 이루며, 이에 대한 극대 원소를 '''극대 좌표근방계'''(maximal atlas^영어)라고 한다. 임의의 좌표근방계

\Phi

에 대하여

\Phi\subseteq\Phi'

인 극대 좌표근방계

\Phi'

이 항상 유일하게 존재한다. 서로 호환되는 두 좌표근방계는 미분동형 매끄러운 다양체를 정의한다. 즉, 극대 좌표근방계는 좌표근방계의 호환 관계에 대한 동치류와 일대일 대응하며, 이 때문에 극대 좌표근방계를 '''매끄러움 구조'''(smooth structure^영어)라고 하기도 한다.

두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수

f\colon(M,\Phi)\to(N,\Psi)

는, 임의의

\phi\in\Phi

및

\psi\in\Psi

에 대하여

f(\operatorname{dom}\phi)\cap\operatorname{dom}\psi\ne\varnothing

이라면, 유클리드 공간 사이의 함수

\psi|_{\operatorname{dom}\psi\cap f(\operatorname{dom}\phi)}\circ\phi^{-1}|_{\phi(\operatorname{dom}\phi\cap f^{-1}(\operatorname{dom}\psi))}

가 매끄러운 함수가 되는 연속 함수이다. 두

\mathcal C^k

다양체 사이의

\mathcal C^k

함수 역시 마찬가지로 정의한다. 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주는

\operatorname{Diff}

라고 쓰며, 이 범주에서의 동형을 '''미분동형'''이라고 한다.

2. 4. 호환되는 좌표근방계와 극대 좌표근방계

자연수 n에 대하여, n차원 다양체 M 위의 좌표근방계 Φ는 다음의 조건을 만족하는 함수들의 집합이다.

Φ의 각 원소 Φ는 매장 (수학) 함수이다.
정의역은 M의 열린 집합이며, 치역은 Rⁿ의 열린 집합이다.
{domΦ}_Φ∈Φ는 M의 열린 덮개이다. 즉, 모든 domΦ를 합집합하면 M이 된다.
임의의 Φ, Ψ ∈ Φ에 대하여, domΦ ∩ domΨ가 공집합이 아닐때, 추이 사상(transition map)은 매끄러운 함수이다.

만약 추이 사상에 대한 조건을 C^k로 약화시키면, C^k 다양체라고 한다. 만약 추이 사상에 대한 조건을 해석 함수로 강화시키면, 해석 다양체라고 한다.

같은 다양체 M 위의 두 좌표근방계 Φ, Φ'에 대하여, Φ ∪ Φ'이 역시 좌표근방계를 이룬다면 두 좌표계가 서로 호환된다고 한다. 이는 동치 관계를 이룬다. M 위의 모든 좌표근방계들의 집합은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이루며, 이에 대한 극대 원소를 극대 좌표근방계라고 한다. 임의의 좌표근방계 Φ에 대하여 Φ ⊆ Φ'인 극대 좌표근방계 Φ'이 항상 유일하게 존재한다. 서로 호환되는 두 좌표근방계는 미분동형 매끄러운 다양체를 정의한다. 즉, 극대 좌표근방계는 좌표근방계의 호환 관계에 대한 동치류와 일대일 대응하며, 이 때문에 극대 좌표근방계를 매끄러움 구조라고 하기도 한다.

2. 5. 매끄러운 함수

2. 6. 미분동형

3. 성질

휘트니 매장 정리/Whitney embedding theorem^영어에 따르면, k ≥ 1에 대하여, C^k 다양체의 범주는 매끄러운 다양체의 범주와 동치이다. 다양체 M 위의 임의의 C^k 좌표근방계 Φ에 대하여, 이와 C^k-호환되는 유일한 (매끄러운) 극대 좌표근방계 Φ_∞가 항상 유일하게 존재한다. 이 사실은 해슬러 휘트니가 증명하였다. 따라서, C^k 다양체들은 보통 직접적으로 다룰 필요가 없다.

3. 1. 범주론적 성질

매끄러운 다양체의 범주

\operatorname{Diff}

는 유한 곱을 가지며, 다양체의 범주로의 망각 함자

\operatorname{Diff}\to\operatorname{TopMfd}

는 곱을 보존한다. 구체적으로, 다양체

(M,\Phi)

와

(N,\Psi)

의 곱

(M\times N,\Phi\times\Psi)

는 다음과 같다.

$M\times N$ 은 (위상 공간으로서의) 곱공간이다.
$\Phi\times\Psi=\{(m,n)\in\operatorname{dom}\phi\times\operatorname{dom}\psi\mapsto(\phi(m),\psi(n))\in\mathbb R^{\dim M}\times\mathbb R^{\dim N}\colon\phi\in\Phi,\psi\in\Psi\}$ 이다.

M\times N

은

\dim M+\dim N

차원 매끄러운 다양체이다.

그러나 두 매끄러운 다양체 사이의 함수 공간은 무한 차원의 공간이므로 다양체가 아니며, 따라서 미분 다양체의 범주는 데카르트 닫힌 범주가 아니다.

3. 2. 매끄러움 구조의 존재와 유일성

3차원 이하의 다양체는 항상 유일한 극대 좌표근방계를 갖는다. 4차원 이상의 차원에서는 좌표근방계가 존재할 수 없는 다양체도 존재하고, 또 서로 다른 두 극대 좌표근방계를 갖는 다양체도 존재한다.

4. 분류

3차원 이하에서, 모든 다양체는 유일한 매끄러움 구조를 갖는다. 따라서, 3차원 이하의 매끄러운 다양체의 분류는 다양체의 분류와 같다.

0차원 매끄러운 다양체 $S$ 는 이산 공간이다. 이 위에는 유일한 극대 좌표근방계가 존재하며, 구체적으로 $S$ 의 임의의 부분 집합에서 $\mathbb R^0=\{0\}$ 으로 가는 모든 함수들의 집합이다. 1차원 매끄러운 다양체의 각 연결 성분은 원 $S^1$ 또는 실수선 $\mathbb R$ 이다. 2차원 매끄러운 다양체의 분류는 매우 복잡하지만, 콤팩트 2차원 매끄러운 다양체들은 그 오일러 지표에 따라 간단히 분류된다.

3차원 콤팩트 매끄러운 다양체는 기하화 추측에 따라 분류된다. 4차원의 경우, 콤팩트 다양체들은 모두 분류되었지만, 이들 위의 매끄러움 구조들의 분류는 미해결 난제이다. 5차원 이상의 매끄러운 다양체들은 수술 이론을 사용하여 분류된다.

5. 예

유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 의 열린 집합 $U\subseteq\mathbb R^n$ 에, 하나의 포함 함수로만 구성된 좌표근방계 $\{\iota_U\colon U\hookrightarrow\mathbb R^n\}$ 를 부여하면 $U$ 는 $n$ 차원 매끄러운 다양체를 이룬다.

초구 $S^n$ 나 원환면 $T^n$ 등 역시 매끄러운 다양체의 예이다.

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